Проток и циркулација векторског поља

Н Засновано на материјалима предавања Ричарда Фајнмана

Када описујемо законе електрицитета у терминима векторских поља, суочавамо се са две математички важне карактеристике векторског поља: флуксом и циркулацијом. Било би лепо разумети шта су ови математички појмови и које је њихово практично значење.

На други део питања је лако одговорити одмах, јер су концепти протока и циркулације у срцу Максвелове једначине, на којој заправо почива сва савремена електродинамика.

Тако се, на пример, закон електромагнетне индукције може формулисати на следећи начин: циркулација електричног поља Е дуж затворене петље Ц једнака је брзини промене флукса магнетног поља Б кроз површину С ограничену овим петља Б.

У наставку ћемо сасвим једноставно, користећи јасне флуидне примере, описати како се математички одређују карактеристике поља, из чега се те карактеристике поља узимају и добијају.

Векторски флукс поља

За почетак, нацртајмо одређену затворену површину потпуно произвољног облика око области која се проучава. Након приказа ове површине, постављамо питање да ли предмет проучавања, који називамо пољем, протиче кроз ову затворену површину. Да бисте разумели о чему се ради, размотрите једноставан течни пример.

Рецимо да истражујемо поље брзина одређене течности. За такав пример има смисла запитати се: да ли више течности пролази кроз ову површину у јединици времена него што се улива у запремину ограничену овом површином? Другим речима, да ли је брзина одлива увек усмерена првенствено изнутра ка споља?

Изразом „флукс векторског поља“ (а за наш пример ће бити тачнији израз „флукс брзине течности“) сложићемо се да назовемо укупну количину замишљене течности која протиче кроз површину разматране запремине ограничену датом а затворена површина (за брзину протока течности, колико течности следи из запремине у јединици времена).

Као резултат тога, флукс кроз елемент површине биће једнак производу површине елемента површине на окомиту компоненту брзине. Тада ће укупан (укупни) флукс по целој површини бити једнак производу просечне нормалне компоненте брзине, коју ћемо рачунати изнутра напоље, на укупну површину.

Сада се вратимо на електрично поље. Електрично поље се, наравно, не може сматрати брзином струјања неке течности, али имамо право да уведемо математички концепт тока, сличан ономе што смо описали горе као ток брзине течности.

Само у случају електричног поља, његов флукс се може одредити просечном нормалном компонентом јачине електричног поља Е. Осим тога, флукс електричног поља се може одредити не нужно кроз затворену површину, већ кроз било коју ограничену површину ненулте површине С.

Кружење векторског поља

Свима је добро познато да се, ради веће јасноће, поља могу приказати у облику такозваних линија силе, у чијој се тачки смер тангенте поклапа са смером јачине поља.

Вратимо се аналогији флуида и замислимо поље брзина течности.Поставимо себи питање: да ли флуид циркулише? Односно, да ли се креће првенствено у правцу неке имагинарне затворене петље?

Ради веће јасноће, замислите да се течност у великој посуди некако креће (сл. А) и да смо одједном замрзнули скоро сву њену запремину, али успели да оставимо запремину незамрзнуту у виду једнолично затворене цеви у којој нема трење течности о зидове (сл. б).

Изван ове цеви, течност се претворила у лед и стога више не може да се креће, али унутар цеви течност може да настави своје кретање, под условом да постоји преовлађујући импулс који је покреће, на пример, у смеру казаљке на сату (Сл. .°Ц). Тада ће се производ брзине течности у цеви и дужине цеви звати циркулација брзине флуида.

Слично, можемо дефинисати циркулацију за векторско поље, иако се опет не може рећи да је поље брзина било чега, ипак можемо дефинисати математичку карактеристику "кружења" дуж контуре.

Дакле, циркулација векторског поља дуж замишљене затворене петље може се дефинисати као производ просечне тангенцијалне компоненте вектора у правцу проласка петље — по дужини петље.