Биот-Савартов закон и теорема циркулације вектора магнетне индукције

Године 1820. француски научници Жан-Батист Био и Феликс Савар су, током заједничких експеримената проучавања магнетних поља једносмерних струја, недвосмислено утврдили да се магнетна индукција једносмерне струје која тече кроз проводник може сматрати резултатом опште дејство свих пресека ове жице са струјом. То значи да се магнетно поље повинује принципу суперпозиције (принципу суперпозиције поља).

Магнетно поље које ствара група једносмерних жица има следеће магнетна индукцијада се њена вредност дефинише као векторски збир магнетних индукција које ствара сваки проводник посебно. То јест, индукција Б проводника једносмерне струје може бити прилично представљена векторском сумом елементарних индукција дБ који припадају елементарним пресецима дл разматраног проводника једносмерне струје И.

Практично је нереално изоловати елементарни део проводника једносмерне струје, јер Д.Ц. увек затворена.Али можете измерити укупну магнетну индукцију коју ствара жица, односно генерисану од свих елементарних делова дате жице.

Дакле, Биот-Соваров закон вам омогућава да пронађете вредност магнетне индукције Б пресека (познате дужине дл) проводника, са датом једносмерном струјом И, на одређеном растојању р од овог пресека проводника и у одређени правац посматрања са изабраног пресека (подешен кроз синус угла између правца струје и правца од пресека проводника до испитиване тачке у простору у близини проводника):

Експериментално је утврђено да се смер вектора магнетне индукције лако одређује десним завртњем или правилом кардана: ако се смер транслационог кретања кардана током његове ротације поклапа са смером једносмерне струје И у жици, онда смер ротације дршке кардана одређује правац вектора магнетне индукције Б произведен датом струјом.

Магнетно поље праве жице са струјом, као и илустрација примене Био-Савартовог закона на њу, приказани су на слици:

Дакле, ако интегришемо, односно додамо допринос сваког од малих пресека проводника константне струје укупном магнетном пољу, добијамо формулу за проналажење магнетне индукције струјног проводника на одређеном полупречнику Р од њега .

На исти начин, користећи Био-Савардов закон, можете израчунати магнетне индукције из једносмерних струја различитих конфигурација иу одређеним тачкама у простору, на пример, магнетна индукција у центру кружног кола са струјом се налази помоћу следећа формула:

Смер вектора магнетне индукције лако се проналази према правилу кардана, само што сада кардан мора да се ротира у правцу затворене струје, а кретање кардана напред ће показати смер вектора магнетне индукције.

Често се прорачуни у односу на магнетно поље могу поједноставити ако узмемо у обзир симетрију конфигурације струја коју генерише поље. Овде можете користити теорему о циркулацији вектора магнетне индукције (попут Гаусове теореме у електростатици). Шта је "кружење вектора магнетне индукције"?

Одаберемо у простору одређену затворену петљу произвољног облика и условно означимо позитиван правац њеног кретања.За сваку тачку ове петље можете пронаћи пројекцију вектора магнетне индукције Б на тангенту петље у тој тачки. Тада је збир производа ових величина са елементарним дужинама свих делова контуре кружење вектора магнетне индукције Б дуж ове контуре:

Практично све струје које стварају опште магнетно поље овде могу или продрети у коло које се разматра, или неке од њих могу бити изван њега. Према теореми о циркулацији: циркулација вектора магнетне индукције Б једносмерних струја у затвореној петљи је бројчано једнака производу магнетне константе му0 збиром свих једносмерних струја које продиру кроз петљу. Ову теорему је формулисао Андре Мари Ампере 1826:

Размотрите горњу слику. Овде струје И1 и И2 продиру у коло, али су усмерене у различитим правцима, што значи да имају условно различите знаке.Позитиван предзнак ће имати струју чији се правац магнетне индукције (према основном правилу) поклапа са смером заобилазнице изабраног кола. За ову ситуацију, теорема о циркулацији има облик:

Уопштено говорећи, теорема за циркулацију вектора магнетне индукције Б следи из принципа суперпозиције магнетног поља и Биот-Савардовог закона.

На пример, изводимо формулу за магнетну индукцију проводника једносмерне струје. Одаберемо контуру у облику круга, кроз чији центар пролази ова жица, а жица је окомита на раван контуре.

Тако центар круга лежи директно у центру проводника, односно у проводнику. Пошто је слика симетрична, вектор Б је усмерен тангенцијално на кружницу, па је стога његова пројекција на тангенту свуда иста и једнака је дужини вектора Б. Теорема о циркулацији се пише на следећи начин:

Дакле, следи формула за магнетну индукцију правог проводника са једносмерном струјом (ова формула је већ дата горе). Слично, користећи теорему о циркулацији, лако се могу пронаћи магнетне индукције симетричних једносмерних конфигурација где је слику линија поља лако визуелизовати.

Један од практично важних примера примене теореме о циркулацији је проналажење магнетног поља унутар тороидног индуктора.

Претпоставимо да постоји тороидна завојница намотана у круг на картонском оквиру у облику крофне са бројем завоја Н. У овој конфигурацији, линије магнетне индукције су затворене унутар крофне и представљају концентричне (једна унутар друге) кружнице у облику .

Ако погледате у правцу вектора магнетне индукције дуж унутрашње осе крофне, испоставља се да је струја свуда усмерена у смеру казаљке на сату (према правилу кардана). Размотрите једну од линија (приказане црвеном бојом) магнетне индукције унутар завојнице и изаберите је као кружну петљу полупречника р. Тада се теорема циркулације за дато коло пише на следећи начин:

А магнетна индукција поља унутар завојнице биће једнака:

За танак тороидни калем, где је магнетно поље скоро једнолико по целом пресеку, могуће је написати израз за магнетну индукцију као за бесконачно дуг соленоид, узимајући у обзир број завоја по јединици дужине — н :

Замислите сада бесконачно дуг соленоид где је магнетно поље у потпуности унутра. Теорему о циркулацији примењујемо на изабрану правоугаону контуру.

Овде ће вектор магнетне индукције дати пројекцију различиту од нуле само на страни 2 (његова дужина је једнака Л). Користећи параметар н — «број завоја по јединици дужине», добијамо такав облик теореме о циркулацији, који се на крају своди на исти облик као за тороидални калем са више тона: