Зашто се комплексни бројеви користе за прорачуне у колима наизменичне струје

Као што знате, комплексни бројеви се користе за решавање неких типичних проблема у електротехници. Али за шта се они користе и зашто се то ради на овај начин? То је оно што ћемо покушати да разумемо у току овог чланка. Чињеница је да је сложена метода или метода сложених амплитуда погодна за израчунавање сложених АЦ кола. И за почетак, подсетимо се неких основа математике:

Као што видите, комплексни број з укључује имагинарни део и реални део који се међусобно разликују и различито се означавају у тексту. Сам комплексни број з може се написати у алгебарском, тригонометријском или експоненцијалном облику:

Историјска позадина

Верује се да је идеја о имагинарним бројевима почела 1545. године, када је италијански математичар, инжењер, филозоф, лекар и астролог Ђироламо Кардано објавио ову методу решавања једначина у својој расправи „Велика уметност“, где је, између осталог, , признао је да му је Николо дао идеју Тартаљи (италијанском математичару) 6 година пре објављивања овог дела. Крадано у свом раду решава једначине облика:

У процесу решавања ових једначина, научник је био приморан да призна постојање неког „нестварног“ броја, чији ће квадрат бити једнак минус један „-1“, то јест, као да постоји квадратни корен од негативан број, а ако је сада на квадрат, испоставиће се одговарајући негативни број испод корена. Цардано је навео правило множења, према којем:

Током три века, математичка заједница је била у процесу навикавања на нови приступ који је предложио Цардано. Имагинарни бројеви постепено пуштају корене, али математичари нерадо прихватају. Тек након објављивања Гаусових радова о алгебри, где је доказао основну теорему алгебре, комплексни бројеви су коначно у потпуности прихваћени, 19. век је био на дохват руке.

Имагинарни бројеви су постали прави спас за математичаре јер су најсложенији проблеми постали много лакши за решавање прихватањем постојања имагинарних бројева.

Тако је убрзо дошло до електротехнике. Кола наизменичне струје су понекад била веома сложена и многи интеграли су морали да се израчунају да би се они израчунали, што је често било веома незгодно.

Коначно, 1893. године, бриљантни електроинжењер Карл Август Штајнмиц говорио је у Чикагу на Међународном електротехничком конгресу са извештајем „Комплексни бројеви и њихова примена у електротехници“, чиме је заправо означен почетак практичне примене од стране инжењера комплексног метода прорачун електричних кола за наизменичну струју.

То знамо из курса физике наизменична струја — ово је струја која се током времена мења и по величини и по правцу.

У техници постоје различити облици наизменичне струје, али данас је најзаступљенија наизменична синусоидна струја, то је оно што се свуда користи, уз помоћ које се преноси електрична енергија, у виду наизменичне струје, која се генерише, претвара од трансформатора и троше се оптерећењем. Синусоидна струја се периодично мења према синусоидном (хармоничном) закону.

Ефективне вредности струје и напона су мање од вредности амплитуде корена два пута:

У комплексној методи, ефективне вредности струја и напона се записују на следећи начин:

Имајте на уму да се у електротехници замишљена јединица означава словом «ј», пошто се слово «и» већ користи овде за означавање струје.

Од Охмов закон одређује комплексну вредност отпора:

Сабирање и одузимање комплексних вредности врши се у алгебарском облику, а множење и дељење у експоненцијалном облику.

Размотримо методу сложених амплитуда на примеру одређеног кола са одређеним вредностима главних параметара.

Пример решавања задатка коришћењем комплексних бројева

Дато:

• напон завојнице 50 В,

• отпор отпорника 25 Охм,

• индуктивност завојнице 500 мХ,

• електрични капацитет кондензатора је 30 микрофарада,

• отпор завојнице 10 Охм,

• фреквенција мреже 50 Хз.

Пронађите: очитавања амперметра и волтметра, као и ватметар.

Одговор:

За почетак записујемо комплексни отпор серијски спојених елемената који се састоји од реалних и имагинарних делова, затим налазимо комплексни отпор активно-индуктивног елемента.

Сећање! Да бисте добили експоненцијални облик, пронађите модул з једнак квадратном корену збира квадрата реалног и имагинарног дела, а пхи једнак арктангенсу количника имагинарног дела подељеног реалним делом.

Затим налазимо струју и, сходно томе, очитавања амперметра:

Дакле, амперметар показује струју од 0,317 А - то је струја кроз цело серијско коло.

Сада ћемо пронаћи капацитивни отпор кондензатора, затим ћемо одредити његов комплексни отпор:

Затим израчунавамо укупну комплексну импедансу овог кола:

Сада налазимо ефективни напон примењен на коло:

Волтметар ће показати ефективни напон од 19,5 волти.

Коначно, налазимо снагу коју ће ватметар приказати, узимајући у обзир фазну разлику између струје и напона

Ватметар ће показати 3,51 вати.

Сада разумете колико су комплексни бројеви важни у електротехници. Користе се за погодан прорачун електричних кола. Многи електронски мерни уређаји раде на истој основи.