Закони алгебре контактног кола, Булова алгебра

Аналитички запис структуре и услова рада релејних кола омогућава извођење аналитичких еквивалентних трансформација кола, односно трансформисањем структурних формула, проналажењем шема сличних у њиховом раду. Методе конверзије су посебно у потпуности развијене за структурне формуле које изражавају контактна кола.

За контактна кола се користи математички апарат алгебре логике, тачније, једна од њених најједноставнијих варијетета, названа рачун пропозиција или Булова алгебра (по математичару прошлог века Ј. Боолеу).

Пропозициони рачун је првобитно развијен да проучава зависност (истинитост или нетачност сложених судова од истинитости или нетачности једноставних исказа који их сачињавају. У суштини, пропозициони рачун је алгебра два броја, односно алгебра у при чему сваки појединачни аргумент и свака функција могу имати једну од две вредности.

Ово одређује могућност употребе Булове алгебре за трансформацију контактних кола, пошто сваки од аргумената (контакта) укључених у структурну формулу може имати само две вредности, односно може бити затворен или отворен, а цела функција представљена структурним формула може да изрази или затворену или отворену петљу.

Булова алгебра уводи:

1) објекти који, као и у обичној алгебри, имају имена: независне променљиве и функције — међутим, за разлику од обичне алгебре, у Буловој алгебри оба могу да имају само две вредности: 0 и 1;

2) основне логичке операције:

• логичко сабирање (или дисјункција, логичко ИЛИ, означено знаком ?), који је дефинисан на следећи начин: резултат операције је 0 ако и само ако су сви аргументи операције једнаки 0, у супротном резултат је 1;

• логичко множење (или конкатенација, логичко И, означено са ?, или уопште није наведено) које је дефинисано на следећи начин: резултат операције је 1 ако и само ако су сви аргументи операције једнаки 1, у супротном резултат је 0;

• негација (или обрнуто, логичко НЕ, означено траком изнад аргумента), која се дефинише на следећи начин: резултат операције има супротну вредност аргумента;

3) аксиоме (закони Булове алгебре), који дефинишу правила за трансформацију логичких израза.

Имајте на уму да се свака од логичких операција може извршити и над променљивим и над функцијама, које ће се у наставку звати Булове функције... Подсетимо се да, по аналогији са обичном алгебром, у Буловој алгебри операција логичког множења има предност над логичком операција сабирања.

Булови изрази се формирају комбиновањем логичких операција на више објеката (променљивих или функција), који се називају аргументи операције.

Трансформација логичких израза коришћењем закона Булове алгебре обично се спроводи са циљем минимизирања, јер што је израз једноставнији, то је мања сложеност логичког ланца, који је техничка имплементација логичког израза.

Закони Булове алгебре су представљени као скуп аксиома и последица. Они се могу једноставно проверити заменом различитих вредности променљивих.

Технички аналог било ког логичког израза за Булову функцију је логички дијаграм... У овом случају, променљиве од којих зависи Булова функција повезују се са спољним улазима овог кола, вредност Булове функције се формира на екстерни излаз кола, а свака логичка операција у логичком изразу ан се имплементира помоћу логичког елемента.

Тако се за сваки скуп улазних сигнала на излазу логичког кола генерише сигнал који одговара вредности логичке функције овог скупа променљивих (у даљем тексту користићемо следећу конвенцију: 0 — низак ниво сигнала , 1 — висок ниво сигнала).

Приликом конструисања логичких кола, претпоставићемо да се променљиве уносе на улаз у парафазном коду (то јест, доступне су и директне и инверзне вредности променљивих).

Табела 1 приказује конвенционалне графичке ознаке неких логичких елемената у складу са ГОСТ 2.743-91, као и њихове стране колеге.

Поред елемената који обављају три операције Булове алгебре (И, ИЛИ, НЕ), у таб. 1 приказује елементе који обављају операције изведене из главног:

— И -НЕ — негација логичког множења, такође названа Шеферов потез (означено са |)

— ИЛИ -НЕ — негација логичке допуне, која се такође назива Пирсова стрела (означена са ?)

Серијским повезивањем логичких капија заједно, можете имплементирати било коју Булову функцију.

Структурне формуле које изражавају релејна кола уопште, односно садрже симболе реагујућих орлова, не могу се сматрати функцијама две вредности које изражавају само затворено или отворено коло. Стога, када се ради са таквим функцијама, јавља се низ нових зависности које превазилазе границе Булове алгебре.

У Буловој алгебри постоје четири пара основних закона: два померања, два комбинаторна, две дистрибутивна и две правне инверзије. Ови закони успостављају еквиваленцију различитих израза, односно сматрају изразе који се могу заменити једни другима као замена идентитета у обичној алгебри. Као симбол еквиваленције узимамо симбол који је исти као симбол једнакости у обичној алгебри (=).

Ваљаност закона Булове алгебре за контактна кола биће утврђена разматрањем кола која одговарају левој и десној страни еквивалентних израза.

Закони о путовању

За додавање: к + и = и + к

Шеме које одговарају овим изразима приказане су на Сл. 1, а.

Лева и десна кола су нормално отворена кола, од којих се свако затвара када се активира један од елемената (Кс или И), односно ова кола су еквивалентна. За множење: к ·и = и ·НС.

Шеме које одговарају овим изразима приказане су на Сл. 1б, њихова еквиваленција је такође очигледна.

Пиринач. 1

Закони комбинације

За сабирање: (к + и) + з = к + (и + з)

За множење: (к ·и) ·з = к ·(и ·з)

Парови еквивалентних кола који одговарају овим изразима приказани су на Сл. 2, а, б

Пиринач. 2

Закони о дистрибуцији

Множење наспрам сабирања: (к + и) +з = к + (и + з)

Сабирање против множења. к ·и + з = (к + з) ·(и + з)

Шеме које одговарају овим изразима приказане су на Сл. 3, а, б.

Пиринач. 3.

Еквиваленција ових шема може се лако проверити разматрањем различитих комбинација активирања контакта.

Закони инверзије

На сабирање: НС + ц = НС·ц

Трака изнад леве стране израза је знак негације или инверзије. Овај знак указује да цела функција има супротно значење у односу на израз испод знака негације. Није могуће нацртати дијаграм који одговара целој инверзној функцији, али се може нацртати дијаграм који одговара изразу под негативним предзнаком. Дакле, формула се може илустровати дијаграмима приказаним на Сл. 4, а.

Пиринач. 4.

Леви дијаграм одговара изразу к + и, а десни НС ·ц

Ова два кола су супротна једно другом у раду, наиме: ако је лево коло са непобуђеним елементима Кс, И отворено коло, онда је десно коло затворено. Ако се у левом колу, када се један од елемената покрене, коло се затвара, ау десном колу, напротив, отвара се.

Пошто је, по дефиницији негативног предзнака, функција к + и инверзна функцији к + и, онда је очигледно да је к + и = НС·ин.

Што се тиче множења: НС · ц = НС + ц

Одговарајуће шеме су приказане на сл. 4, б.

Транслокативни и комбинацијски и закони и дистрибутивни закон множења у односу на сабирање (одговарају сличним законима обичне алгебре).Дакле, у случају трансформације структурних формула по редоследу сабирања и множења појмова, постављања чланова ван заграда и проширења заграда, можете пратити правила установљена за рад са обичним алгебарским изразима. Дистрибутивни закон сабирања у односу на множење и закони инверзије су специфични за Булову алгебру.