Основи и закони алгебре логике

Ирски математичар из средине 19. века Џорџ Бул развио алгебру логике („Проучавање закона мишљења“). Отуда се назива и алгебра логике боолеан алгебра.

Давањем словних ознака, изражавањем операција логичких трансформација у симболима акција и коришћењем правила и аксиома утврђених за ове радње, алгебра логике омогућава да се процес закључивања у решавању проблема датог у терминима логике исказа у потпуности опише у алгоритмима. , односно имати математички написан програм који решава овај проблем.

Да означи истинитост или нетачност исказа (то јест, да уведе вредности за процену исказа), алгебра логике користи бинарни систем, погодан у овом случају. Ако је исказ тачан, узима вредност 1, ако је нетачан, узима вредност 0. За разлику од бинарних бројева, логичке 1 и 0 не изражавају количину, већ стање.

Дакле, у електричним колима описаним помоћу Булове алгебре, где је 1 присуство напона, а 0 његово одсуство, снабдевање напона од неколико извора до једног чвора кола (то јест, долазак неколико његових логичких јединица) је такође се приказује као логичка јединица која указује не на укупан напон на чвору, већ само на његово присуство.

Приликом описивања улазних и излазних сигнала логичких кола користе се променљиве које узимају вредности само логичке 0 или 1. Утврђује се зависност излазних сигнала од улаза. логичка операција (функција)… Означимо улазне променљиве са Кс1 и Кс2, а излаз добијен логичком операцијом над њима са и.

Размислите три основне елементарне логичке операције, уз помоћ којих се могу описати све сложеније.

1. Операција ИЛИ — логички додатак:

Узимајући у обзир све могуће вредности варијабли, може се дефинисати операција ИЛИ као довољност најмање једне јединице на улазу да се произведе једна јединица на излазу. Назив операције је објашњен семантичким значењем уније ИЛИ у фрази: «Ако је ОР један улаз ИЛИ је други један, онда је излаз један.»

2. Операција И — логичко множење:

Узимајући у обзир комплетан скуп вредности променљивих, операција АНД се дефинише као потреба да се упаре сви они на улазима да би се добила једна на излазу: „Ако је АНД један улаз, а други један, онда излаз је један. «

3. Операција НЕ — логичка негација или инверзија. Означено је траком изнад променљиве.

Када је обрнута, вредност променљиве је обрнута.

Основни закони логичке алгебре:

1. Закон нултог скупа: производ било ког броја променљивих нестаје ако је било која од променљивих нула, без обзира на вредности других променљивих:

2. Закон универзалног скупа — збир било ког броја променљивих постаје један ако бар једна од променљивих има вредност један, без обзира на друге променљиве:

3. Закон понављања — поновљене променљиве у изразу се могу изоставити (другим речима, у Буловој алгебри не постоји експоненцијација и множење нумеричким коефицијентом):

4. Закон двоструке инверзије — двапут изведена инверзија је празна операција:

5. Закон комплементарности — производ сваке променљиве и њене инверзне вредности је нула:

6. Збир сваке променљиве и њене реципрочне вредности је један:

7. Заштитни закони — резултат извођења операција множења и сабирања не зависи од редоследа којим следе варијабле:

8. Комбиновани закони — током операција множења и сабирања, променљиве се могу груписати било којим редоследом:

9. Закони о дистрибуцији — дозвољено је укупан коефицијент ставити ван заграда:

10. Закони апсорпције — назначити начине да се упросте изрази који укључују променљиву у свим факторима и терминима:

11. Де Морганови закони — инверзија производа је збир инверзија променљивих:

инверзија збира је производ инверзија променљивих: