Системи бројева

Бројни систем је скуп правила за представљање бројева помоћу различитих нумеричких знакова. Системи бројева су класификовани у два типа: непозициони и позициони.

У позиционим бројевним системима вредност сваке цифре не зависи од позиције коју заузима, односно од места које заузима у скупу цифара. У римском нумеричком систему постоји само седам цифара: једна (И), пет (В), десет (Кс), педесет (Л), сто (Ц), петсто (Д), хиљаду (М). Користећи ове бројеве (симболе), преостали бројеви се записују сабирањем и одузимањем. На пример, ИВ је ознака броја 4 (В — И), ВИ је број 6 (В + И) и тако даље. Број 666 је написан у римском систему на следећи начин: ДЦЛКСВИ.

Ова нотација је мање згодна од оне коју тренутно користимо. Овде је шест написано једним симболом (ВИ), шест десетица другим (ЛКС), шест стотина трећим (ДЦ). Веома је тешко изводити аритметичке операције са бројевима исписаним у римском нумеричком систему. Такође, уобичајена мана непозиционих система је сложеност представљања довољно великих бројева у њима тако да резултира изузетно гломазном нотацијом.

Сада размотрите исти број 666 у позиционом бројевном систему. У њему један знак 6 означава број јединица ако је на последњем месту, број десетица ако је на претпоследњем месту, а број стотина ако је на трећем месту са краја. Овај принцип писања бројева назива се позициони (локални). У таквом снимку, свака цифра добија нумеричку вредност у зависности не само од њеног стила, већ и од тога где се налази када је број написан.

У позиционом бројевном систему, било који број представљен као А = +а1а2а3 … анн-1ан може се представити као збир

где је н — коначан број цифара на слици броја, ии број и-го цифра, д — основа бројевног система, и — редни број категорије, дм-и — „тежина“ и-ро категорије . Цифре аи морају задовољити неједнакост 0 <= а <= (д — 1).

За децимални запис, д = 10 и аи = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Пошто се бројеви који се састоје од јединица и нула могу посматрати као децимални или бинарни бројеви када се користе заједно, база бројног система се обично означава, на пример (1100)2-бинарни, (1100)10-децимални.

У дигиталним рачунарима се широко користе системи који нису децимални: бинарни, октални и хексадецимални.

Бинарни систем

За овај систем д = 2 и овде су дозвољене само две цифре, односно аи = 0 или 1.

Било који број изражен у бинарном систему је представљен као збир производа снаге базе два пута бинарне цифре датог бита. На пример, број 101,01 се може написати овако: 101,01 = 1×22 + 0к21 + 1×20 + 0к2-1 + 1×2-2, што одговара броју у децималном систему: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

У већини савремених дигиталних рачунара, бинарни бројевни систем се користи за представљање бројева у машини и обављање аритметичких операција над њима.

Бинарни бројевни систем, у поређењу са децималним, омогућава да се упросте кола и кола аритметичког уређаја и меморијског уређаја и да се повећа поузданост рачунара. Цифра сваког бита бинарног броја је представљена стањима «укључено/искључено» таквих елемената као што су транзистори, диоде, који поуздано раде у стању «укључено/искључено». Недостаци бинарног система укључују потребу да се по посебном програму преведу оригинални дигитални подаци у бинарни бројевни систем и резултати одлуке у децимални.

Октални систем бројева

Овај систем има основу д == 8. Бројеви се користе за представљање бројева: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Октални бројевни систем се користи у рачунару као помоћ у припреми задатака за решавање (у процесу програмирања), у провери рада машине и у отклањању грешака у програму. Овај систем даје краћи приказ броја од бинарног система. Октални систем бројева вам омогућава да једноставно пређете на бинарни систем.

Хексадецимални систем бројева

Овај систем има основу д = 16. 16 знакова се користи за представљање бројева: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, Ц, Д, Е, Ф и знакови А … Ф представљају децималне бројеве 10, 11, 12, 13, 14 и 15. Хексадецимални број (1Д4Ф) 18 ће одговарати децималном броју 7503 јер (1Д4Ф)18 = 1 к163 + 13 к 162 + 14 к 161+ 15 к 16О = (7503)10

Хексадецимални запис омогућава да се бинарни бројеви пишу компактније од окталног. Налази примену у улазним и излазним уређајима и уређајима за приказ редоследа бројева неких рачунара.

Бинарно-децимални бројни систем

Репрезентација бројева у бинарно-децималном систему је следећа. За основу се узима децимални запис броја, а затим се свака његова цифра (од 0 до 9) записује у облику четвороцифреног бинарног броја који се назива тетрада, односно не користи се ни један знак за представљање свака цифра децималног система, али четири.

На пример, децимални број 647,59 одговарао би БЦД 0110 0100 0111, 0101 1001.

Бинарно-децимални бројни систем се користи као средњи бројни систем и за кодирање улазних и излазних бројева.

Правила за пренос једног система бројева у други

Размена информација између рачунарских уређаја одвија се углавном преко бројева представљених у бинарном бројевном систему. Међутим, информације су представљене кориснику у бројевима у децималном систему, а адресирање команде је представљено у окталном систему. Отуда и потреба за преносом бројева из једног система у други у процесу рада са рачунаром. Да бисте то урадили, користите следеће опште правило.

Да бисте конвертовали цео број из било ког система бројева у други, потребно је сукцесивно поделити овај број са основом новог система све док количник не буде мањи од делиоца. Број у новом систему мора бити написан у облику остатака дељења, почевши од последњег, односно с десна на лево.

На пример, претворимо децимални број 1987 у бинарни:

Децимални број 1987 у бинарном формату је 11111000011, тј. (1987)10 = (11111000011)2

Приликом преласка са било ког система на децимални, број се представља као збир степена базе са одговарајућим коефицијентима, а затим се израчунава вредност збира.

На пример, претворимо октални број 123 у децимални: (123)8 = 1 к 82 + 2 к 81 + 3 к 80 = 64 + 16 + 3 = 83, тј. (123)8 = (83)10

Да бисте пренели разломак броја из било ког система у други, потребно је извршити узастопно множење овог разломка и резултујућих разломака производа на основу новог бројевног система. Део броја у новом систему се формира у облику целих делова добијених производа, почевши од првог. Процес множења се наставља све док се не израчуна број са датом прецизношћу.

На пример, претворимо децимални разломак 0,65625 у бинарни систем бројева:

Пошто се разломак петог производа састоји само од нула, даље множење је непотребно. То значи да се дата децимала претвара у бинарни без грешке, тј. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Претварање из окталног и хексадецималног у бинарни и обрнуто није тешко. То је зато што њихове базе (д — 8 и д — 16) одговарају целим бројевима од два (23 = 8 и 24 = 16).

Да би се октални или хексадецимални бројеви претворили у бинарни, довољно је сваки њихов број заменити троцифреним или четвороцифреним бинарним бројем.

На пример, преведемо октални број (571)8 и хексадецимални број (179)16 у бинарни систем бројева.

У оба случаја добијамо исти резултат, тј. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Да бисте конвертовали број из бинарно-децималног у децимални, треба да замените сваку тетраду броја представљеног у бинарно-децималном систему цифром представљеном у децималном облику.

На пример, запишемо број (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 у децималном запису, тј. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218.625)